\documentstyle{amsppt}
\magnification 1200
\let\mathbb=\Bbb
\def\en{\mathbb N}
\def\ep{\varepsilon}
\def\er{\mathbb R}
\def\ff{\varphi}
\def\ce{\mathbb C}
\def\zet{\mathbb Z}

\noindent{\bf �loha.}
Rozhodn�te, zda existuje spojit� funkce
$f:\er\to\er$ tak, �e
$$
f(x)+f(2x)+f(3x)=0,\qquad x\in\er.
$$

\medskip
\noindent{\it �e�en�} spo��v� v~nalezen� ko�ene rovnice
$$
(1+2^z+3^z)=0
\tag{1}
$$
v oboru
$$
\{z\in\ce:\; \text{Re}\,z>0\}.
$$
Potom funkce
$$
f(x) =
\cases
|x|^z, &x\ne 0,\\
0, &x=0
\endcases
$$
m� po�adovan� vlastnosti. Uk�eme, �e takov� �e�en� rovnice (1) existuje.

Nech� $\mu= \ln (2/3)$, $\lambda=\ln(1/3)$, $\xi=\lambda/\mu$. Potom
$$
\frac 1\xi=\frac{\mu}{\lambda}=\frac{\ln 3-\ln 2}{\ln 3}=1-\frac{\ln 2}{\ln 3}.
$$
P�edstavme si, �e existuj� nenulov� cel� ��sla $p$, $q$ tak, �e
$$
\frac{\ln 2}{\ln 3}=\frac pq.
$$
Potom
$$
 2^q=3^p,
$$
co� nen� mo�n�. Tedy
%\eqn{irac}
$$
\xi\quad\text{je iracion�ln�}.
$$
Uk�eme, �e mno�ina
$$
A=\{k-n\xi:\;k,n\in \zet\}
$$
je hust� v~$\er$. M�jme d�no $\tau\in\er$ a $\ep>0$. Potom v~intervalu
$[0,1]$ le�� nekone�n� mnoho prvk� mno�iny $A$, tedy mus� existovat takov�
prvky $\alpha<\beta$ mno�iny $A$, �e $\beta-\alpha<\ep$. Najd�me
$m\in\zet$ tak, �e
$$
k(\beta-\alpha)\le \tau<(k+1)(\beta-\alpha).
$$
Potom
$k(\beta-\alpha)\in A$ a $|k(\beta-\alpha)-\tau|<\ep$. T�m jsme dok�zali hustotu
$A$ v $\er$ a z~t� snadno plyne, �e existuj� $k$, $n\in\zet$
tak, �e
$$
  |\xi(2n+1)-(2k+1)|<\frac18.
$$
Polo�me
$$
 t = (2n+1)\;\frac{\pi}{\mu}.
$$
Potom
$$
\mu t = (2n+1)\pi
$$
a
$$
|\lambda t-(2k+1)\pi|=\pi\;\Bigl|\xi (2n+1)-(2k+1)\Bigr|<\frac{\pi}8.
$$
Polo�me
$$
a = t-\frac\pi{8\lambda},\quad b=t+\frac\pi{8\lambda}.
$$
Potom
$$
\gathered
(2k+1)\pi -\frac\pi 4<\lambda a <(2k+1)\pi<\lambda b <(2k+1)\pi +\frac\pi4,\\
(2n+1)\pi -\frac\pi 4<\mu a <(2k+1)\pi<\mu b <(2n+1)\pi +\frac\pi4.
\endgathered
$$
Nech� $s\ge 0$. Funkce
$$
e^{-\lambda s}\,\sin \lambda t,\quad  e^{-\mu s}\,\sin\mu t
$$
jsou klesaj�c� na $(a,b)$, kladn� v~$a$ a z�porn� v~$b$. Tedy existuje
pr�v� jedno $\ff(s)\in(a,b)$ tak, �e
$$
e^{-\lambda s}\,\sin (\lambda \ff(s)) + e^{-\mu s}\,\sin(\mu \ff(s)) = 0.
$$
Podle v�ty o implicitn�ch funkc�ch je funkce $\ff$ spojit�. Polo�me
$$
\Psi(s)=e^{-\lambda s}\,\cos (\lambda \ff(s)) + e^{-\mu s}\,\cos(\mu \ff(s)).
$$
Potom $\Psi$ je spojit� funkce na $[0,\infty)$, $\Psi(0)<-1$, $\Psi(\infty-)=0$,
tedy existuje $r\in (0,\infty)$ tak, �e $\Psi(r)=-1$.
Polo�me
$$
z=r+it.
$$
Potom
$$
0=e^{-\lambda z}+e^{-\mu z}+1= \Bigl(\frac 13\Bigr)^z
+\Bigl(\frac 23\Bigr)^z+1=3^{-z}(1+2^z+3^z),
$$
tak�e $z$ �e�� (1). :--)
\bye
