\documentstyle{amsppt}
\magnification 1200
\let\mathbb=\Bbb
\def\en{\mathbb N}
\def\ep{\varepsilon}
\def\er{\mathbb R}
\def\ff{\varphi}
\def\ce{\mathbb C}
\def\zet{\mathbb Z}

\noindent{\bf Úloha.}
Rozhodněte, zda existuje spojitá funkce
$f:\er\to\er$ tak, že
$$
f(x)+f(2x)+f(3x)=0,\qquad x\in\er.
$$

\medskip
\noindent{\it Řešení} spočívá v~nalezení kořene rovnice
$$
(1+2^z+3^z)=0
\tag{1}
$$
v oboru
$$
\{z\in\ce:\; \text{Re}\,z>0\}.
$$
Potom funkce
$$
f(x) =
\cases
|x|^z, &x\ne 0,\\
0, &x=0
\endcases
$$
má požadované vlastnosti. Ukážeme, že takové řešení rovnice (1) existuje.

Nechť $\mu= \ln (2/3)$, $\lambda=\ln(1/3)$, $\xi=\lambda/\mu$. Potom
$$
\frac 1\xi=\frac{\mu}{\lambda}=\frac{\ln 3-\ln 2}{\ln 3}=1-\frac{\ln 2}{\ln 3}.
$$
Představme si, že existují nenulová celá čísla $p$, $q$ tak, že
$$
\frac{\ln 2}{\ln 3}=\frac pq.
$$
Potom
$$
 2^q=3^p,
$$
což není možné. Tedy
%\eqn{irac}
$$
\xi\quad\text{je iracionální}.
$$
Ukážeme, že množina
$$
A=\{k-n\xi:\;k,n\in \zet\}
$$
je hustá v~$\er$. Mějme dáno $\tau\in\er$ a $\ep>0$. Potom v~intervalu
$[0,1]$ leží nekonečně mnoho prvků množiny $A$, tedy musí existovat takové
prvky $\alpha<\beta$ množiny $A$, že $\beta-\alpha<\ep$. Najděme
$m\in\zet$ tak, že
$$
k(\beta-\alpha)\le \tau<(k+1)(\beta-\alpha).
$$
Potom
$k(\beta-\alpha)\in A$ a $|k(\beta-\alpha)-\tau|<\ep$. Tím jsme dokázali hustotu
$A$ v $\er$ a z~té snadno plyne, že existují $k$, $n\in\zet$
tak, že
$$
  |\xi(2n+1)-(2k+1)|<\frac18.
$$
Položme
$$
 t = (2n+1)\;\frac{\pi}{\mu}.
$$
Potom
$$
\mu t = (2n+1)\pi
$$
a
$$
|\lambda t-(2k+1)\pi|=\pi\;\Bigl|\xi (2n+1)-(2k+1)\Bigr|<\frac{\pi}8.
$$
Položme
$$
a = t-\frac\pi{8\lambda},\quad b=t+\frac\pi{8\lambda}.
$$
Potom
$$
\gathered
(2k+1)\pi -\frac\pi 4<\lambda a <(2k+1)\pi<\lambda b <(2k+1)\pi +\frac\pi4,\\
(2n+1)\pi -\frac\pi 4<\mu a <(2k+1)\pi<\mu b <(2n+1)\pi +\frac\pi4.
\endgathered
$$
Nechť $s\ge 0$. Funkce
$$
e^{-\lambda s}\,\sin \lambda t,\quad  e^{-\mu s}\,\sin\mu t
$$
jsou klesající na $(a,b)$, kladné v~$a$ a záporné v~$b$. Tedy existuje
právě jedno $\ff(s)\in(a,b)$ tak, že
$$
e^{-\lambda s}\,\sin (\lambda \ff(s)) + e^{-\mu s}\,\sin(\mu \ff(s)) = 0.
$$
Podle věty o implicitních funkcích je funkce $\ff$ spojitá. Položme
$$
\Psi(s)=e^{-\lambda s}\,\cos (\lambda \ff(s)) + e^{-\mu s}\,\cos(\mu \ff(s)).
$$
Potom $\Psi$ je spojitá funkce na $[0,\infty)$, $\Psi(0)<-1$, $\Psi(\infty-)=0$,
tedy existuje $r\in (0,\infty)$ tak, že $\Psi(r)=-1$.
Položme
$$
z=r+it.
$$
Potom
$$
0=e^{-\lambda z}+e^{-\mu z}+1= \Bigl(\frac 13\Bigr)^z
+\Bigl(\frac 23\Bigr)^z+1=3^{-z}(1+2^z+3^z),
$$
takže $z$ řeší (1). :--)
\bye